Рассуждения о методе

Формально-аксиоматический подход позволил представить математические задачи и их решения в символьной форме, однако сам процесс вывода доказательств (поиска алгоритма), осуществляемый математиками, оставался неформализованным. Из-за отсутствия окончательной формализации ученым по-прежнему приходилось пользоваться нестрогими методами, применение которых являлось определенного рода искусством.

Исследование подобных методов проводил еще Декарт в своей книге «Правила для руководства ума». Впоследствии, как уже отмечалось, идея о выработке «правил для руководства ума» при поиске решения благодаря Лейбницу трансформировалась в идею построения машин, выполняющих решение автоматически, т. е. в идею полной формализации этих правил. Поскольку полное и окончательное решение данной проблемы оказалось непосредственно недостижимым, некоторые ученые вернулись к рассуждениям о методе в стиле Декарта. В этом направлении наибольший интерес представляет детальный анализ, проведенный математиком и педагогом Д. Пойа на примере решения задач школьниками. Ведь проблема метода математического доказательства возникает не только у профессиональных математиков. В равной мере она встает и перед школьниками, вернее, перед учителями, занимающимися их обучением.

Пойа подчеркивал, что владение неким предметом подразумевает обладание не только знаниями, но и в большей степени умением их применять. Отсутствие соответствующих навыков приводит к полной неспособности ученика хоть как-то приступить к решению задачи (даже в том случае, когда готовое доказательство вполне может быть им понято) либо, в лучшем случае, к использованию метода «научного тыка», т. е. к случайному перебору разных комбинаций возможных действий над исходными данными. Вывод вполне прост: само доказательство и процесс его поиска — совершенно разные вещи.

Убедимся в этом на примере следующей задачи, приведенной Пойа в его книге «Математическое открытие»: найти сумму квадратов N первых натуральных чисел formula_08 Ответ у этой задачи следующий

formula_09

 

Интересно уже то, что доказать правильность этого ответа проще, хотя и ненамного, чем решить исходную задачу. Как будто мы знаем общее направление к выходу из лабиринта, но вовсе не знаем пути к нему. Если вы не помните вывода этого ответа, можете попытаться найти его самостоятельно, прежде чем рассмотреть следующее решение:

formula_10

 

Истинность всех преобразований очевидна (кроме, возможно, преобразования, после которого пропадают знаки суммирования, но в его корректности тоже несложно убедиться). Практически любой может проверить правильность данного доказательства, что является бесспорной заслугой современной символьной математики. Задача решена, … но это решение оставляет определенную неудовлетворенность, поскольку от него хочется чего-то большего, чем просто подтверждения приведенной выше формулы. Это решение приведено как данность, и остается совершенно не ясно, из каких соображений выбирались именно такие преобразования и как до них можно додуматься самостоятельно.

Не получено же оно случайным перебором всех возможных преобразований исходного выражения с поиском такой цепочки преобразований, которая позволит получить ответ (хотя кто-то достаточно терпеливый может решить эту задачу и таким путем)? Данное решение уже описывает путь от входа в лабиринт к выходу из него, но не сообщает нам, как этот путь был найден. Значит, навыки решения задач представляют собой совокупность приемов или методов, позволяющих направить поиск решения.

Пойа проводил исследования методов решения задач, которые он назвал «эвристическими». Это название является производным от слова «эврика», в переводе с греческого значащего «нашел», или «открыл». Именно с таким возгласом по легенде Архимед выскочил из ванны, придумав, как определить материал короны царя Сиракуз. Термин «эвристический» может трактоваться как «способствующий открытию». Хотя это значение данный термин продолжает сохранять, сейчас он приобрел дополнительный оттенок — «нестрогий, придуманный на основе интуитивных соображений». Под эвристикой в области ИИ понимается прием или метод, облегчающий поиск решения задачи (именно в этом смысле он и будет использоваться далее).

В своей книге Пойа подчеркивал единство методов решения школьных задач и научного поиска. Цитируя Г. Спенсера, он писал: «Что значит преподавать? Это значит систематически побуждать учащихся к собственным открытиям». Кроме того, Пойа тоже проводил аналогию между поиском решения произвольной задачи и поиском пути в ограниченно известной местности как наиболее типичной задачей, возникающей перед животными и первобытными людьми, благодаря чему мы затруднения при решении любых задач воспринимаем, как препятствия на пути к достижению цели.

Неужели все задачи от поиска пути на местности до свершения научных открытий имеют что-то общее, и для их решения может использоваться один и тот же интеллект? Если действительно модель мышления как направленного поиска может описать решения самых разнообразных задач, то эта модель должна отражать самую базовую сущность мышления.

Но какие все же приемы помогают найти решение задачи или, тем более, сделать научное открытие? Рассмотрим для примера следующую простую задачу: дана окружность; с помощью циркуля и линейки необходимо найти положение ее центра.

Прежде чем приступать к решению задачи, необходимо установить набор допустимых действий. Мы можем:

  • провести через заданные две точки прямую;
  • провести окружность заданного радиуса с центром в заданной точке;
  • установить раствор циркуля по двум точкам;
  • определить точку пересечения двух линий (прямых или окружностей).

Есть еще и «дополнительные» разрешенные действия:

  • случайным образом провести прямую через одну точку;
  • случайным образом выбрать одну из точек на заданной геометрической фигуре (например, окружности);
  • случайным образом уменьшить или увеличить раствор циркуля.

Наличие последних трех действий крайне важно, хотя о них часто в явном виде не упоминается. С другой стороны, некоторые относительно естественные действия запрещены. Например, нельзя «на глазок» провести касательную к окружности или, понемногу увеличивая раствор циркуля, найти наиболее удаленные точки на окружности.

Как можно решить задачу с поиском центра окружности? Для начала у нас немного альтернатив: можно выбрать случайно точку на окружности и провести через нее случайную прямую или окружность со случайно заданным радиусом. После этого мы можем получить новые точки на исходной окружности и использовать их для следующих построений. Число возможных построений будет расти чрезвычайно быстро.

Человеку, не имеющему опыта решения таких задач, будет крайне сложно найти правильную последовательность действий, несмотря на то, что эта последовательность весьма коротка. Если же задачу усложнить, то ждать ее решения и вовсе бесперспективно. Чтобы человек смог решать такие задачи, у него сначала должны сформироваться навыки решения на постепенно усложняющихся примерах (причем желательно, чтобы процесс решения сопровождался комментариями учителя). Но что именно дают эти навыки?

Решение задачи с нахождением центра окружности является простым, если владеть некоторыми дополнительными приемами, такими как проведение перпендикуляра через середину отрезка, и знать, что перпендикуляр, проходящий через середину хорды окружности, проходит и через ее центр (этот факт действительно нужно знать: он легко получается в аналитической геометрии, но доказать подобные факты в рамках построений с помощью циркуля и линейки проблематично). Описание решения с использованием дополнительных действий выглядит очень компактным: «центр окружности может быть найден как точка пересечения перпендикуляров, проходящих через середины двух произвольных хорд». Представьте, насколько длиннее было бы описание решения в терминах элементарных действий с циркулем и линейкой. По сути, деление отрезка на две равные части и построение к нему перпендикуляра (да и сами понятия деления отрезков и перпендикуляров) являются частными эвристиками, существенно облегчающими поиск решения исходной задачи. Операция построения перпендикуляра к отрезку по своему значению сходна с операцией составления длинной палки из двух при решении задач на доставание плода обезьяной. Разница лишь в том, что первая — символьная.

Перпендикуляр через середину отрезка строится всего в четыре действия: 1) устанавливается раствор циркуля по концам отрезка; 2) и 3) проводятся окружности выбранного радиуса с центрами в концах отрезков; 4) через две точки их пересечения проводится прямая.

Существуют тысячи других цепочек из четырех действий (даже если ограничиться элементарными действиями с циркулем и линейкой), которые для большинства задач оказываются малополезными, однако в исключительных случаях могут быть применимы. Именно в этом суть эвристик: они обычно помогают находить решения, хотя при этом не дают полной гарантии. Существуют задачи, в которых требуются сложные вспомогательные построения; если всецело полагаться только на освоенные приемы, то решения таких задач найти не удастся.

Задачу о построении перпендикуляра многие школьники способны решить самостоятельно за приемлемое время — интуитивно или сознательно выполняя перебор цепочек доступных действий. После этого задача о центре окружности также становится решаемой. А вот без дополнительных эвристик она практически не решаема, поскольку правильная цепочка элементарных действий затеряна в миллиардах других потенциальных построений (кто-то, возможно, сможет решить и эту задачу, не зная о существовании перпендикуляров, но задействовав какие-то иные эвристики). Здесь важно знать даже не сам способ построения перпендикуляра, а то, что его в принципе можно построить и использовать в данной задаче. Ведь поиск цепочки действий для выполнения одного заведомо осуществимого вспомогательного построения значительно проще, чем перебор всех потенциальных построений, многие из которых могут быть и неосуществимы, что установить крайне трудно как математически, так и на основе здравого смысла. Вряд ли кто-то, не знающий заранее ответа, может с уверенностью сказать, какие из следующих построений возможны, а какие — нет:

1) построение окружности, проходящей через все вершины произвольного треугольника;2) построение квадрата, равного по площади данному кругу;
3) разделение данного угла на три равные части. Поиск некоторых построений (например, квадратуры круга) шел на протяжении многих веков, пока их неосуществимость не была доказана алгебраически.

Новичок не может сразу решать сложные задачи, сначала он должен освоить (или постепенно самостоятельно изобрести) массу эвристик, специфичных для данного класса задач. Подобные предметно-зависимые эвристики, однако, не устраивали математиков, искавших общие методы решения задач.

Такой общностью обладают, например, метод разделения задачи на подзадачи с независимым их решением, метод поиска решения для частного случая с последующим обобщением или метод аналогий. Эти методы, однако, не удается сформулировать в виде легко применимых четких правил, и оказывается необходимым приобретать навыки их практического использования.

Исследования Пойа так и не привели к созданию нового направления в математике или педагогике, однако его рассуждения о методах решения задач, подкрепленные «лабиринтной гипотезой» в психологии и работами математиков в области теории алгоритмов сыграли свою роль при формировании первого общего подхода к проблеме искусственного интеллекта. Этот общий подход получил название «эвристическое программирование».